二进位制，简称二进制，是一种利用两个符号（0和1）来表示数值的计数方式，在计算机科学和数字电路中，二进制被广泛使用，因为它可以简化数字电路的设计，并能够有效地通过电子开关（例如晶体管）进行表示。

二进制的基础

数字符号：二进制仅使用两个数字符号——0 (表示“关”或“假”) 和 1 (表示“开”或“真”)。

位（Bit）：二进制的单个数字称为位，它是二进制数的最小单位。

字节（Byte）：8位组合在一起形成一个字节，是信息处理中常用的基本单位。

二进制与十进制的转换

从二进制到十进制

要从二进制转换为十进制，需要将每个位的值乘以2的幂次，然后将它们相加。

例子：

二进制数 1011 转换为十进制：

(1 × 2^3) + (0 × 2^2) + (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

从十进制到二进制

将十进制数转换为二进制通常涉及连续除以2并记录余数的过程。

例子：

十进制数 13 转换为二进制：

13 ÷ 2 = 6 ... 余数 1
6 ÷ 2 = 3 ... 余数 0
3 ÷ 2 = 1 ... 余数 1
1 ÷ 2 = 0 ... 余数 1

将余数倒序排列得到二进制数：1101

二进制运算

二进制系统下的算术运算包括加法、减法、乘法和除法，它们的规则与十进制类似，但只涉及两个数字（0和1）。

加法

二进制加法 1 + 1 = 10，因为在该系统中没有表示“2”的方式，所以进位变成“10”，即十进制中的“2”。

减法

二进制减法 1 1 = 0，与十进制相同。

乘法

二进制乘法 1 * 1 = 1，类似于十进制中的乘法。

除法

二进制除法 1 / 1 = 1，也类似于十进制。

二进制的逻辑运算

二进制不仅用于算术运算，还广泛用于逻辑运算，这是计算机编程和电子学的基础。

AND（与）：只有当所有输入都为1时，输出才为1。

OR（或）：只要有一个输入为1，输出就为1。

NOT（非）：反转输入的值（如果输入是1，则输出为0；反之亦然）。

NAND（非与）：AND运算的否定结果。

NOR（非或）：OR运算的否定结果。

XOR（异或）：当两个输入不同时输出1，否则输出0。

这些逻辑运算通常体现在门电路和布尔代数中，并且是现代计算机硬件和软件设计的核心。