初等矩阵是一种特殊的矩阵，它是由单位矩阵经过一次初等行变换或初等列变换得到的，初等矩阵在线性代数中具有重要的地位，它们的性质和运算规则对于解决线性方程组、矩阵的秩以及矩阵的逆等问题具有重要意义。

初等矩阵的定义

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵，初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的若干倍；初等列变换包括交换两列、某列乘以非零常数、某列加上另一列的若干倍。

初等矩阵的性质

1、初等矩阵都是方阵，且它们的阶数等于单位矩阵的阶数。

2、初等矩阵与单位矩阵相似，即存在一个可逆矩阵P，使得P^1 * E * P = I，其中E为单位矩阵，I为任意阶单位矩阵。

3、初等矩阵的行列式都等于1。

4、初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵。

5、两个初等矩阵相乘，结果仍为一个初等矩阵。

6、初等矩阵与任何矩阵相乘，结果仍为一个矩阵。

初等矩阵的运算规则

1、两个初等矩阵相加，结果仍为一个初等矩阵。

2、两个初等矩阵相乘，结果仍为一个初等矩阵。

3、一个初等矩阵与一个非初等矩阵相乘，结果仍为一个非初等矩阵。

4、一个初等矩阵与一个向量相乘，结果仍为一个向量。

5、一个初等矩阵与一个向量相加，结果仍为一个向量。

初等矩阵的应用

1、求解线性方程组：通过将线性方程组的增广矩阵与相应的初等矩阵相乘，可以得到线性方程组的解。

2、计算矩阵的秩：通过将原矩阵与相应的初等矩阵相乘，可以得到原矩阵的秩。

3、计算矩阵的逆：通过将原矩阵与相应的初等逆矩阵相乘，可以得到原矩阵的逆。